Se fundó el 1 de abril de 2005 después de que el actual presidente de la Cofradía Nuestro Padre Jesús Cautivo, Manuel Marchena, propusiera a Vicente Nadal crear un grupo musical que acompañara a la imagen titular. La idea tuvo una gran aceptación y a Nadal se sumaron desde el primer momento Enrique Gonzalez, Nayara Nadal y Sergio García. «En los orígenes éramos sólo cinco miembros que ensayábamos en el campanario de la iglesia de Santa Cruz los martes y los jueves y nos ha gustado tanto que a día de hoy, el cuarteto de fundadores seguimos formando parte de la agrupación», explicó a Periódico de Ibiza y Formentera el propio Vicente Nadal.
Su presentación oficial tuvo lugar un año después, con la primera edición de su Concierto de marchas procesionales en su parroquia. Fue un momento muy especial porque además se aprovechó para la puesta de largo de sus uniformes, diseñados por Pilar Ballesteros y algunas madres de otros componentes del grupo.
Durante los años siguientes, hasta 2008, siguieron creciendo como agrupación musical, participando además en la Semana Santa de Palma, acompañando, entre otras cofradías, al Cristo de la Agonía que es llevado a costal. Además, ese mismo año, gracias a la amistad que entabla el grupo con la Agrupación Musical Nuestra Señora de la Esperança i la Pau de Palma participan en un concierto de hermanamiento en la localidad mallorquina de Lloseta y en Certamen Ciutat de Palma Memorial Miguel Roig junto a otras formaciones de Balears.
En 2010 se convierten en la primera banda de España que compra su imagen
En 2010 la agrupación decide dar un paso más y compra la imagen de Nuestro Padre Jesús Cautivo, convirtiéndose en la primera banda de toda España en comprar una imagen propia y fundar la que actualmente es la cofradía con el mismo nombre. El 10 de marzo es bendecida por el obispo Vicente juan segura en la parroquia de Santa Cruz y en mayo la agrupación organiza un certamen para celebrar su quinto aniversario con la participación de bandas de toda la comunidad.
Tres años después, crean el nuevo escudo de la agrupación musical, diseñado Benjamín Arroyo y Pau Riera y finalmente, después de años de trabajos coordinados por un grupo de fieles, el 19 de marzo de 2015 se aprueban los estatutos, convirtiéndose en la séptima cofradía que forma parte de la Semana Santa de la ciudad de Ibiza. Además, este año, con motivo de su décimo aniversario, se estrenan los nuevos uniformes, diseñados y elaborados en los talleres de Sevilla por Marisa Ortega. Según Vicente Nadal, con ellos «se cambia el estilo marcando el color de la agrupación musical hacia el azul pavo y el plata y con el escudo de la agrupación en las mangas de la guerrera y el nombre de Cautivo grabado en el cuello».
2017 un gran año para la cofradía
El 2017 supone un año muy importante para la Agupación Musical Nuestro Padre Jesús Cautivo gracias a la organización de la primera edición de certamen Juntos desde el cielo –Ciudad de Ibiza. «Fue un momento muy especial para nuestro grupo puesto que se rindió homenaje a seres queridos y porque conseguimos dar un cambio a la cultura de la Semana Santa de Ibiza con la participación de tres destacadas bandas como la Agrupación Musical San Juan Evangelista de Bullas, en Murcia, la Agrupación Musical Nuestra Señora de la Esperança i la Pau de Mallorca y la Agrupación Musical Santísimo Cristo de la Agonía de Ibiza», recordó Vicente Nadal.
Este año tan especial se cerró con dos magníficas noticias más. En marzo participan en el IX Concierto de marchas procesionales que organiza la Agrupación Musical Nuestra Señora de la Esperança i la Pau siendo la primera agrupación musical invitada que tocó en la Basílica de Sant Francesc y con motivo de la Semana Santa estrenan sus primeras marchas propias. Son Cautivo de ti, señor y Juntos desde el cielo, compuestas el compositor y amigo de la agrupación Carlos Vergara Cabo.
2018 también comienza con buen pie. El 13 de enero la Agrupación Musical Nuestro Padre Jesús Cautivo participa por primera vez en un encuentro en la península. Es el V Certamen de Marchas de la Agrupación Musical San Juan Evangelista de la localidad murciana de Bullas y en él estrenan una nueva marcha propia, titulada Tercer Misterio y compuesta por Alfonso García.
Además, esa Semana Santa vivieron varios estrenos. El Jueves Santo estrenan los Rós de color blanco y negro y pluma de color azul pavo, que sirve de complemento a su uniforme y el Domingo de Ramos participan por primera vez en la Procesión del Santo Encuentro, el Domingo de Resurrección, con su nueva imagen, El Resucitado. Finalmente, en diciembre viajan hasta Granada para participar en Armilla en el VI Capricho Cofrade, considerado uno de los certámenes más prestigiosos de toda España.
2020, año de celebraciones
Tras estrenar en este 2019 la percusión de color negro y plateada personalizada con el escudo de la agrupación, durante este 2020 se han organizado distintos actos para celebrar estos 15 años de vida bajo la asesoría musical de Alfonso García.
